پاسخ فعالیت های صفحه 3 ریاضی نهم

پاسخ تشریحی: نمودار ون یک روش تصویری برای نمایش مجموعه‌ها و روابط بین آن‌هاست. هر دایره یا منحنی بسته نمایانگر یک مجموعه است و اعضای آن مجموعه درون آن نوشته می‌شوند. **برای پیدا کردن اعضای مجموعه‌ی A:** باید به تمام عناصری که درون دایره‌ی A قرار دارند، نگاه کنیم. این عناصر شامل بخشی که فقط متعلق به A است و بخشی که با B مشترک است، می‌شوند. اعضای مجموعه‌ی A عبارتند از: $A = \{a, b, c, s, f, k\}$ **برای پیدا کردن اعضای مجموعه‌ی B:** باید به تمام عناصری که درون دایره‌ی B قرار دارند، نگاه کنیم. این عناصر شامل بخشی که فقط متعلق به B است و بخشی که با A مشترک است، می‌شوند. اعضای مجموعه‌ی B عبارتند از: $B = \{s, f, k, m, n\}$

پاسخ تشریحی: یک عبارت زمانی مشخص‌کننده‌ی یک **مجموعه** است که اعضای آن کاملاً **مشخص و بدون ابهام** باشند. به این ویژگی «خوش‌تعریف بودن» می‌گویند. * **گزینه الف) عددهای طبیعی و یک رقمی:** این عبارت کاملاً مشخص است. اعضای آن دقیقاً اعداد ۱ تا ۹ هستند و هیچ ابهامی در مورد آن‌ها وجود ندارد. بنابراین، این عبارت یک مجموعه را مشخص می‌کند. مجموعه‌ی مورد نظر: $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ * **گزینه ب) چهار شاعر ایرانی:** این عبارت مبهم است. ایران شاعران بزرگ زیادی دارد و مشخص نیست کدام چهار نفر مد نظر هستند. چون اعضای آن مشخص نیستند، این عبارت یک مجموعه را تعریف نمی‌کند. * **گزینه ج) دو عدد اول کوچک‌تر از ۱۲:** اعداد اول کوچک‌تر از ۱۲ عبارتند از $2, 3, 5, 7, 11$. این عبارت از ما «دو عدد» از این پنج عدد را می‌خواهد، اما مشخص نکرده است کدام دو عدد. برای مثال، آیا منظور $ \{2, 3\}$ است یا $ \{5, 11\}$؟ چون اعضا به طور دقیق مشخص نشده‌اند، این عبارت نیز یک مجموعه را تعریف نمی‌کند. بنابراین، **فقط گزینه (الف)** یک مجموعه را مشخص می‌کند.

پاسخ تشریحی: یکی از ویژگی‌های اصلی یک مجموعه این است که **اعضای آن غیرتکراری (متمایز)** هستند. اگر یک عضو چند بار در فهرست اعضا نوشته شود، ما فقط یک بار آن را در مجموعه نهایی در نظر می‌گیریم. **الف)** در عبارت $ \{1, 2, 1, 4, 5\}$، عدد **۱** دو بار تکرار شده است. برای نوشتن آن به صورت یک مجموعه استاندارد، عضو تکراری را حذف می‌کنیم. بنابراین، جای خالی به صورت زیر پر می‌شود: $A = \{1, 2, 4, 5\}$ **ب)** در عبارت $ \{5, 6, 5, 7\}$، عدد **۵** تکراری است. بنابراین، به دلیل تکراری بودن عدد **۵**، آن را به صورت یک مجموعه با اعضای متمایز می‌نویسیم. جاهای خالی به صورت زیر پر می‌شوند: به دلیل تکراری بودن عدد **۵** در $ \{5, 6, 5, 7\}$ آن را به صورت $B = \{5, 6, 7\}$ می‌نویسیم.

پاسخ تشریحی: برای پاسخ به این سوال، مفاهیم زیر را مرور می‌کنیم: * **عدد اول:** عددی طبیعی بزرگ‌تر از ۱ است که فقط بر خودش و بر ۱ بخش‌پذیر باشد (مانند ۲, ۳, ۵, ۷, ...). * **عدد زوج:** عددی است که بر ۲ بخش‌پذیر باشد (مانند ۲, ۴, ۶, ۸, ...). * **عدد دو رقمی:** عددی بین ۱۰ تا ۹۹ است. سوال از ما مجموعه‌ای می‌خواهد که اعضای آن **هم اول، هم زوج و هم دو رقمی** باشند. نکته کلیدی این است که **تنها عدد اولِ زوج، عدد ۲ است**. هر عدد زوج دیگری (مانند ۴, ۶, ۸, ...) بر ۲ بخش‌پذیر است و بنابراین نمی‌تواند اول باشد. از طرفی، عدد ۲ یک عدد **یک رقمی** است. در نتیجه، هیچ عدد **دو رقمی** وجود ندارد که هم زوج و هم اول باشد. بنابراین، مجموعه‌ی E هیچ عضوی ندارد و یک مجموعه‌ی **تهی** است. نمایش مجموعه تهی: $E = \{\}$ یا $E = \emptyset$ این مجموعه **۰ عضو** دارد.

پاسخ تشریحی: این سوال از ما می‌خواهد اعضای مشترک بین دو مجموعه‌ی A و B را پیدا کنیم. به این اعضای مشترک، **اشتراک** دو مجموعه گفته می‌شود و آن را با نماد $A \cap B$ نمایش می‌دهیم. مجموعه‌ها عبارتند از: $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ $B = \{5, 6, 7, 8\}$ برای پیدا کردن اعداد مشترک، اعضای دو مجموعه را با هم مقایسه می‌کنیم: * عدد **۵** هم در مجموعه‌ی A وجود دارد و هم در مجموعه‌ی B. * عدد **۶** هم در مجموعه‌ی A وجود دارد و هم در مجموعه‌ی B. بقیه اعضا مشترک نیستند. بنابراین، عددهایی که هم در منحنی A و هم در منحنی B (یعنی در قسمت همپوشانی دو دایره در نمودار ون) وجود دارند، **۵ و ۶** هستند. مجموعه‌ی اشتراک این دو مجموعه برابر است با: $A \cap B = \{5, 6\}$ **نمایش با نمودار ون:** برای رسم نمودار، دو دایره‌ی متقاطع (دارای همپوشانی) برای A و B رسم می‌کنیم: * در قسمت مشترک (اشتراک)، اعداد $ \{5, 6\}$ را قرار می‌دهیم. * در قسمتی از دایره A که با B مشترک نیست، اعداد $ \{1, 2, 3, 4\}$ را قرار می‌دهیم. * در قسمتی از دایره B که با A مشترک نیست، اعداد $ \{7, 8\}$ را قرار می‌دهیم.

پاسخ تشریحی: مجموعه‌ی تهی مجموعه‌ای است که هیچ عضوی ندارد و آن را با نماد $ \emptyset $ یا $ \{\} $ نمایش می‌دهیم. برای یافتن پاسخ، هر گزینه را بررسی می‌کنیم: * **الف) عددهای طبیعی بین ۵ و ۶:** اعداد طبیعی شامل $ \{1, 2, 3, ...\} $ هستند. هیچ عدد طبیعی بین دو عدد طبیعی متوالی ۵ و ۶ وجود ندارد. بنابراین، این عبارت یک **مجموعه‌ی تهی** را مشخص می‌کند. $A = \{\}$ * **ب) عددهای صحیح بین ۱- و ۱:** اعداد صحیح شامل اعداد مثبت، منفی و صفر هستند. عدد صحیح **صفر** بین ۱- و ۱ قرار دارد. بنابراین، این مجموعه $B = \{0\}$ است و تهی نیست. * **ج) عددهای اول و زوج:** عدد اول عددی است که فقط بر ۱ و خودش بخش‌پذیر باشد. تنها عدد زوجی که اول است، عدد **۲** می‌باشد. بنابراین، این مجموعه $C = \{2\}$ است و تهی نیست. * **د) عددهای طبیعی یک رقمی و مضرب ۳ که اول باشد:** عددهای طبیعی یک رقمی که مضرب ۳ هستند، عبارتند از $ \{3, 6, 9\} $. از بین این سه عدد، تنها عدد **۳** اول است. بنابراین، این مجموعه $D = \{3\}$ است و تهی نیست. در نتیجه، **گزینه‌ی (الف)** تنها عبارتی است که مجموعه‌ی تهی را مشخص می‌کند.